数学　基礎の基礎

＃2　二次方程式の解の公式の導出


数学　基礎の基礎
＃1　等式の性質を理解する等式というのは=記号で隔てられた左辺と右辺から構成される最も一般的なものです。具体的に書けば、一般的には左辺 = 右辺です。これを色々なテク、小技で変形していくわけですが、その時に等式の性質に基づいて色々な変形を施...
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2026.05.13

の続きです。式の変形により二次方程式の解（根）の公式を導きます。コツがわかればそれほど難しくはないです。二次方程式の例としては、教科書で必ず見かける、

ax2+bx+c=0\Large a x^2 + b x + c = 0

ですかね？まずcを右辺に移項します

ax2+bx=−c\Large a x^2 + b x = -c
aはゼロでないとして両辺をaで割ります\Large a はゼロでないとして両辺を\Large aで割ります
x2+ba x=−ca\Large x^2 + \dfrac{b}{a}\ x = -\dfrac{c}{a}

ここでちょっと小細工して、両辺にb24a2\Large \dfrac{b^2}{4 a^2}

を足します。

x2+bax+b24a2=−ca+b24a2\Large x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4 a^2} = -\dfrac{c}{a} + \dfrac{b^2}{4 a^2}

左辺を何とかの自乗の形式として、右辺を通分してまとめると

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\Large (x+\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

右辺が0以上であれば、つまり右辺の分母はaがゼロで無い限り0以上確定ですから、

b2−4ac>0\Large b^2 – 4ac > 0

の時は右辺は0以上、従ってその条件下で両辺の平方根を取り、

x+b2a=±b2−4ac2a\Large x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ここまでくればあと少し、b2a\dfrac{b}{2a}を移項して、

x=−b±b2−4ac2a\Large x = \dfrac{-b\pm \sqrt{{b^2-4ac}}}{2a}

となり二次方程式を解いて、解ないし根の公式が導出できました。

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