Sin Cosの巾級数展開の憶え方

オイラーの公式を使うと楽ですが

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＃1　自然対数の底eの近似値を求めてみるテイラー展開は、\begin{eqnarray}f(a + x) &=& f(a) + f'(a)\, x + \frac{f^{”}(a)}{2!}\, x^2 + \cdots +\frac{f^...

で、マクローリン展開により

\large e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + … + \frac{x^n}{n!} + …

と書けた。今 $x$ でなく、 $ix$ を入れると、

\large e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + ….. + \frac{(ix)^n}{n!}

ここで $i^2=-1$ を考慮すると、

\large e ^{ix} = 1 + ix – \frac{x^2}{2!} + i\,\,\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + … + \frac{(ix)^n}{n!}

虚数単位 $\large i$ が含まれている項と、含まれていない項をまとめると、つまり実数部分と虚数部分をまとめると、

\large e^{ix} = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + …. + i\,( x – \frac{x^3}{3!} + ….)

となる。ここでオイラーの公式から、

\large e^{ix} = \cos x + i\sin x

なので、

\large \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – …. +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + …

および

\large \cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -… + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + …

となる。この巾級数展開で、sin xは奇数乗の項しか含まれないので、

\large \sin (-x) = -\sin(x)

が成立し、sin xは原点において点対称で、cos xには偶数乗の項しか含まれないので、

\large \cos(-x) = \cos(x)

で、ｙ軸に対して線対称というグラフになることがわかる。着目している物理量（電流とか電圧とか）が正弦的に変化する場合は、 $\large e^{ix}$ として扱うと簡単に処理できることがある。その際に電流値iと虚数単位iが紛らわしいので、電流値iを優先して、虚数単位iをj（アルファベットでiの次）とかで表記する習わしは”電気屋さん”の策謀だったのだが、広まってしまってるようだね。筆者は電気屋ではなく機械屋のはしくれだったので今でも若干の抵抗があります。