sinxcosxの性質とグラフ

復習してみようか

まずsinxマクローリン展開は、

sinx=xx36+x5120+(1)

これは奇関数である。つまりf(x)=f(x)が全てのxで成立する。(1)式の右辺には奇数乗の項しかないので、自明。これはグラフ的には何を意味するだろうか?sinxを表す曲線は、原点について対称、つまり原点周りで点対称であるということだ。以下にグラフを示す。通常はExcelを使っていたが、座標軸が綺麗に書けるので、今回はdesmos.comを使った。urlはhttps://www.desmos.com/calculator/w9jrdpvsmk?lang=ja

他方cosxマクローリン展開は、

cosx=1x22+x424+(2)

この式の右辺は、今度は偶数乗の項のみなので、偶関数。つまりf(x)=f(x)が全てのxで成立する。従ってそのグラフは、y軸に関して線対称となる。

両方を同時に表示させることも可能。

このサイトではもっと面白いデモもみることができる。例えば、

微積分:sin(x)のテイラー展開
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微積分:sin(x)のテイラー展開というものでは、a=1を右にドラッグすると高次の関数でsin(x)に漸近する様子をアニメーションで見ることができる。a=10とすると、

となって適合する範囲がかなり広くなる。高次までの級数の和が次第にsin(x)に近くなってくる様子がよくわかります。

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