Excel 微分方程式を解く
RC直列回路での充電 時定数 上図のように抵抗Rを通してコンデンサCに充電する状況を考える。時刻t=0で電圧はVとすると、コンデンサの電圧Vcはどのように変化するだろうか？時刻tの時に回路に流れる電流をi(t)とする。時刻tの時に、抵抗Rの...
数学
Excel 学習 R.M.S.の計算例 三角波の場合
定積分の初級練習問題ですね。前記事から続く。 三角波をまず作ります。区間は0～2πで100分割として、グラフを描くと、 まず自乗します。Squareですね。さらに計算すべき面積を明示するために領域を色で塗ると、 上図の1／4区間の面積を解析...
学習 信号の大きさを評価する R.M.S.ないし実効値
計測した信号の大きさを定量的にはかることは重要である。今、 という二つの正弦波について、その振幅あるいは強さ（縦軸）を比較してみよう。一見して、オレンジ色のsin(y)なる波が、青色のsin(x)より”小さい”ことは見てとれる。それは定性的...
学習 一次近似の単振り子運動方程式への応用
振幅が小さい場合 上図のように質量mを持った物体が長さｌの糸に釣られている状況を考える。今角度\(\theta\)だけ振れている時の物体にかかる円弧に沿った力の成分は、mgsin\(\theta\)である。よって物体に関しての運動方程式は、...
学習 運動方程式を解く＃1
一次元直線運動の場合 下図のような状況を考える。 ばね定数ｋのバネと質量ｍの物体が連結されており、摩擦のない床の上で運動する場合を想定する。この系での運動方程式は、 \(F=kx=-ma\) で、aは加速度つまり\(x\)の2階の時間微分\...
ハードウエア 式の変形 応用編
オームの法則を使って、Ledの電流制限抵抗値を求める 以下の状況で、Rを求めたい 電源電圧は5Vで、LEDをそこそこ明るく光らせるには10mA程度流してやれば良い。LEDが導通状態の時の両端電圧は1.7Vくらいである。抵抗器の抵抗値Rはどう...
学習 式の変形 基礎編
もっとも基礎的な式の変形を学ぶ ”何々について解く”をオームの法則に適用する \(V=IR\) この公式はオームの法則といって、以下の回路図において、電源電圧(V ボルト）、抵抗器Rの抵抗値（Ω オーム）、回路に流れる電流Iの値（A アンペ...
大学 マクローリン展開と近似 例2 正弦関数 sin
一次近似が出てくるよ 工学的には有用 まずマクローリン展開（0の周りのテイラー展開）の再掲 \(f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^{2}+\dfrac{f^{(3)}(0)}{6}x^{3}+\cdot...
Excel マクローリン展開と近似 例1 自然対数の底eの近似値
数学的工学的に有用な公式 まずテイラー展開とは、関数\(f(x)\)の任意の値\(a\)からのオフセットで\(f(x)\)を表現する公式で、 \({\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f...
学習 二次方程式の解の公式を導出する
それほど難しくはないよ \(ax^2+bx+c=0\) \(a\)はゼロではないので、まず両辺を\(a\)で割る。\(a\)がゼロならば、二次方程式ではなく一次方程式に縮退するので\(a\neq 0\)と仮定できる。 \(x^2+\dfra...