学習 三角関数 sin x cos xの微分（導関数）
グラフを使った憶え方 まず\(\sin x \)のグラフです（再掲） 縦軸が\(\sin x\)で、横軸は\(x\)だとすると、\(\sin x\)の\(x\)に関する微分とは、グラフの傾き＝接線の勾配に他ならないので、原点\(O\)付近で...
数学
学習 学習 三角関数 基本公式
少しずつ三角関数\(\sin \thetaや\cos \theta\)について書いてます。 この記事では\(\sin ^2 \theta + \cos ^ 2 \theta = 1 \)を思い出して、どうやって証明するのだっけという経緯につ...
学習 \(\sin x\)と\(\cos x\)の性質とグラフ
復習してみようか まず\(\sin x\)のマクローリン展開は、 \(\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}+\cdots (1)\) これは奇関数である。つまり\(f(x) = -f(-x...
学習 マクローリン展開の応用
以前の記事でマクローリン展開について触れたが、その続編の応用です。 まずマクローリン展開（0の周りのテイラー展開）の再掲から、 \(f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^{2}+\dfrac{f^{(3)}...
Excel 微分方程式を解く
RC直列回路での充電 時定数 上図のように抵抗Rを通してコンデンサCに充電する状況を考える。時刻t=0で電圧はVとすると、コンデンサの電圧Vcはどのように変化するだろうか？時刻tの時に回路に流れる電流をi(t)とする。時刻tの時に、抵抗Rの...
学習 R.M.S.の計算例 三角波の場合
定積分の初級練習問題ですね。前記事から続く。 三角波をまず作ります。区間は0～2πで100分割として、グラフを描くと、 まず自乗します。Squareですね。さらに計算すべき面積を明示するために領域を色で塗ると、 上図の1／4区間の面積を解析...
学習 信号の大きさを評価する R.M.S.ないし実効値
計測した信号の大きさを定量的にはかることは重要である。今、 という二つの正弦波について、その振幅あるいは強さ（縦軸）を比較してみよう。一見して、オレンジ色のsin(y)なる波が、青色のsin(x)より”小さい”ことは見てとれる。それは定性的...
学習 一次近似の単振り子運動方程式への応用
振幅が小さい場合 上図のように質量mを持った物体が長さｌの糸に釣られている状況を考える。今角度\(\theta\)だけ振れている時の物体にかかる円弧に沿った力の成分は、mgsin\(\theta\)である。よって物体に関しての運動方程式は、...
学習 運動方程式を解く＃1
一次元直線運動の場合 下図のような状況を考える。 ばね定数ｋのバネと質量ｍの物体が連結されており、摩擦のない床の上で運動する場合を想定する。この系での運動方程式は、 \(F=kx=-ma\) で、aは加速度つまり\(x\)の2階の時間微分\...
ハードウエア 式の変形 応用編
オームの法則を使って、Ledの電流制限抵抗値を求める 以下の状況で、Rを求めたい 電源電圧は5Vで、LEDをそこそこ明るく光らせるには10mA程度流してやれば良い。LEDが導通状態の時の両端電圧は1.7Vくらいである。抵抗器の抵抗値Rはどう...