以前の記事でマクローリン展開について触れたが、その続編の応用です。
まずマクローリン展開（0の周りのテイラー展開）の再掲から、
\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f”(0)}{2}x^{2}+\dfrac{f^{(3)}(0)}{6}x^{3}+\cdots\)
ここで\(f(x)=\sin x\)の場合は、\((\sin x)’=\cos x\)そして\((\cos x)’=-\sin x\)であり、\(\sin 0=0\)、また\(\cos 0=1\)であるから、
\(\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}+\cdots (1)\)
ついでに\(\cos x \)は、
\(\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}+\cdots (2)\)
ここまでを一次近似の記事として書いた。別記事で、\(e^x\)は、
\(e^x = 1 + x + \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots (3)\)
と書けた。\(x=1\)の時の値を計算することにより、自然対数の底\(e\)の近似値を求めた。今回は上の式で\(x\)でなく\(ix\)と置くと、どうなるだろうか？
\(e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{1}{2!}(ix)^2 + \dfrac{1}{3!}(ix)^3 + \cdots\)
となる。\(i\)は虚数単位で、その定義は\(i^2\ = -1\)であるから、\(i^3\ = -i\)等となる。結局右辺は、
\(1 + ix – \dfrac{1}{2!}x^2 – i\dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \cdots\)
となる。\(i\)が含まれている項と含まれていない項をまとめて、
\( 1 – \dfrac{1}{2!}x^2 + \dfrac{1}{4!}x^4 + \cdots + i( x – \dfrac{1}{3!}x^3 + \cdots)\)
実数部は\(\cos x\)のマクローリン展開式(2)に等しく、虚数部はちょうど\(\sin x\)のマクローリン展開式(1)に等しいので、結局
\(e^{i x}=\cos x+i \sin x\)
となるのでオイラーの公式が導けた。というより辻褄が合っているというべきか。さて（1）～（3）の三つのマクローリン展開の式を記憶することを考える。すると（3）だけ憶えて、\(x=ix\)の場合を計算して（1）と（2）を導きだせますが、時間がかかりますね。まるごと式（1）と式（2）を憶えてしまうのが吉です。筆者は時々忘れますが。これらの式からわかることはまた次の記事で。
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