マクローリン展開と近似　例2　正弦関数 sin

一次近似が出てくるよ　工学的には有用

まずマクローリン展開（0の周りのテイラー展開）の再掲

\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f”(0)}{2}x^{2}+\dfrac{f^{(3)}(0)}{6}x^{3}+\cdots\)

ここで\(f(x)=\sin x\)の場合は、\((\sin x)’=\cos x\)そして\((\cos x)’=-\sin x\)であり、\(\sin 0=0\)、また\(\cos 0=1\)であるから、

\(\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}+\cdots\)

ついでに\(\cos x \)は、

\(\cos x=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}+\cdots\)

となる。ここで\(x\)が微少である場合を考える。いくら微少でも\(x=0\)とはできないが、\(x^2 \sim 0\)とできる。すると級数において\(x\)が2乗以上の項は全て0となり、式が簡略化されて、

\(\sin x \approx x\)

\(\cos x \approx 1\)

これが一次近似である。これを実際に使う例は別記事で。